Vakken
Engels
Frans
Duits
Spaans
Nederlands
Grieks
Portugees
Italiaans
Latijn
Japans
Biologie
Aardrijkskunde
Natuur- en scheikunde
Wiskunde, rekenen
Economie
Geschiedenis
Eigen methodes
Alle vakken
Home
›
Alle vakken
›
Eigen methodes
›
Paradoxen
› 3 College 3
Helaas is de overhoormodule niet beschikbaar. Wel kun je deze lijst overhoren via StudyGo. Klik op 'Overhoren'
Paradoxen
3 College 3
Jaar 2 (universiteit)
Link voor email / website
Link naar overhoring, zonder bewerk/reactiemogelijkheid (ELO)
Open met deze code de oefening in miniTeach
Twitter
Facebook
Google+
LinkedIn
Van wanneer tot wanneer leefde Zeno van Elea? = Van 490 tot 430 V. Chr. Wie was de leermeester van Zeno van Elea? = Parmenides. Wat was Elea? = Een stad aan de Zuid Italiaanse westkust. Wat probeerde Zeno te laten zien met zijn paradoxen? = Dat verandering en beweging niet bestaat en dat de werkelijkheid niet samengesteld is. We weten niet waarom hij dit deed. In die tijd zijn er rare theorieën in opkomst. Sommigen maf en anderen niet. Dat alles uit atomen is opgebouwd kwam ook uit die tijd. Een manier om dit te duiden zou kunnen zijn dat ze wilden laten zien dat de alledaagse manier van ons denken niet altijd klopt. Dit is misschien te veel vanuit de moderne gedachte. Wat is de stijl van Zeno’s paradoxen? = Reductie ad absurdum: als je wil laten zien dat iets niet het geval is kun je kijken naar hoe het zou zijn als het wel het geval zou zijn. Als je dan het absurde kunt afleiden, concludeer je dat er iets met die premisse niet klopt. Dus concludeer je dat het niet is, maar als je een contradictie bereikt, weet je niet waar het aan ligt. Dan moet je andere dingen ook aannemen. 1 Als X dan Y 2 Y is niet het geval 3 X is niet het geval. Bewijs: Stel dat X het geval is Dan volgt uit 1 dat Y het geval is Dit is in tegenspraak met 2 X is niet het geval. Eén van de voornaamste motieven in Zeno’s redeneringen is oneindigheid. Waarom waren de paradoxen van Zeno effectief? = Omdat ze in die tijd nog geen grip op oneindigheid hadden. Nu hebben we er wel grip op en is het middelbare school wiskunde. Wat is het beroemdste paradox van Zeno van Elea? = De Achilles en de schildpad paradox. Wat is de paradox Achilles en de schildpad van Zeno van Elea? = Een wedstrijd tussen Achilles (staat voor snel) en een schildpad. De schildpad krijgt voorrang. Als Achilles op het punt is waar de schildpad is, is de schildpad toch een beetje verder. De voorsprong wordt kleiner, maar is er. Als je het zo ziet, lijkt het dat Achilles de schildpad nooit inhaalt. Die afstand wordt steeds kleiner, maar niet 0. De oplossing van deze paradox zit in het feit dat het wel 0 wordt. Welke paradox is een (pseudo-)paradox in de stijl van Zeno? = Als je een vierkant neemt, kan je die delen. Dan kun je dat deel ook weer delen en dat deel ook weer. Daar kun je oneindig mee doorgaan. Elk vierkant neemt ruimte in. De ruimte wordt wel steeds kleiner, maar niet 0. Als je al die oppervlakken optelt, die niet 0 zijn, krijg je heel veel. Het probleem zit in de redenering. 1. Stelling: Een eindig vlak kan in oneindig veel delen worden opgedeeld. 2. Elk van die delen neemt ruimte in. 3. Alle delen bij elkaar nemen dus oneindig veel ruimte in. 4. 1 en 3 spreken elkaar tegen 5. Conclusie: Een eindig vlak kan niet in oneindig veel delen worden opgedeeld. Probleem: Premissen 2 en 3. Hoe gaat de paradox van Zeno en de hardloper? = Een hardloper die de finish wil bereiken. Daarvoor moet hij een oneindige afstand afleggen: eerst de helft, dan de helft van de helft, etc. Het is onmogelijk om oneindig veel afstanden af te leggen, dus hij haalt de finish nooit. Dit geldt voor elke beweging, dus beweging is een illusie. Wat is de oplossing van de hardloper paradox van Zeno van Elea? = In de wiskunde hebben we de som: ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + … met 1 als uitkomst. Wij zien nu dat dit gelijk is aan 1 en we hebben er geen moeite mee om oneindig veel dingen op te tellen. Dit probleem was er toen wel, ze zagen dit niet. Dit gaat over wiskundige abstracties, getallen die geen dingen in de werkelijkheid zijn. Je zou kunnen zeggen dat de hardloper zich echt in de waarneembare wereld afspeelt. Op die manier zou je kunnen zeggen dat het anders opgelost moet worden, maar de wiskundige oplossing wordt geaccepteerd. Wat is de oplossing van de Achilles en de schildpad paradox? = Ongeveer hetzelfde als de oplossing voor de hardloperparadox. Als je alles bij elkaar optelt, krijg je 2. De paradoxen lijken op elkaar, alleen bij de een verschuift de finish. Deze paradoxen hebben lang stand gehouden, maar zijn nu opgelost. Hoe gaat de pijlparadox van Zeno van Elea? = Deze paradox is interessanter, want er is geen eenduidige oplossing voor. Je hebt een pijl die voorbij komt. Als je een tijdslijn verdeeld in tijdstippen, heb je oneindig veel tijdstippen. Maar op elk punt van die tijdstippen staat de pijl stil. Maar als de pijl op elk punt in de tijd stil staat, staat hij de hele rit stil. Hoe kan het dat als je tijdstippen optelt je toch beweging krijgt. 1. Op ieder tijdspunt gedurende zijn vlucht staat een pijl stil. 2. Maar als hij gedurende elk tijdspunt stil staat, dan staat de pijl gedurende zijn hele vlucht stil. Wat zijn de mogelijke oplossingen voor de pijlparadox van Zeno van Elea? = De oplossing moet op de een of andere manier liggen in dat beweging in relatie is met plaats in tijdstippen. De juiste behandeling van tijd, wat is dat, wat is de relatie tussen eenheid dan tijd en grotere tijdseenheden? We hebben er geen goede oplossing voor. Oplossing: snelheid is afstand gedeeld door tijd? Of kinetische energie? Maar kinetische energie is geen alledaagse beweging, maar een alternatieve notie. We blijven onze alledaagse notie van beweging niet goed begrijpen. Een oplossing is het idee dat de eerste bewering waar is, maar ook onwaar is tegelijk en dat is wat verandering is. Als je de tijd fijn genoeg snijdt is de peil op een bepaald punt, maar ook weer niet, want hij is al weg. Mogelijke problemen met deze redenering: Is het wel zo dat de tijd uit punten bestaat? Wat zijn tijdspunten voor dingen? Aanname 1 zou betwijfeld kunnen worden (maar als je er vanuit gaat dat de tijd uit punten bestaat, dan is het misschien wel aannemelijk). 1 zou tegelijk waar en onwaar kunnen zijn. Wat zijn waarheidsparadoxen? = Beweringen die tegelijkertijd waar en onwaar zijn. Zo kun je ook naar de notie van beweging kijken. Dat is een manier om daar naar te kijken. Welke conclusies kun je trekken uit de paradoxen van Zeno van Elea? = Een deel van die paradoxen van Zeno lijkt een redelijke oplossing te hebben. Dat die tegenwoordig bijna niet meer paradoxaal gevonden wordt, ligt aan ontwikkelingen in de wiskunde. Ze hebben wel indrukwekkende houdbaarheidsdatum gehad: ongeveer 2000 jaar. We begrijpen niet wat onze alledaagse intuïtieve notie van beweging is. En is die notie consistent? Waarheidsparadoxen zijn ook niet consistent. Je krijgt dan een onsamenhangend wereldbeeld. De hardloper kan dus wel de finish halen en Achilles haalt de schildpad wel in: beweging is toch mogelijk. Deze conclusies zijn alleen mogelijk dankzij ontwikkelingen in de wiskunde in het begin van de 19de eeuw. De paradoxen van Zeno hadden dus een indrukwekkend lange houdbaarheidsdatum. Maar beweging blijft een probleem, zoals de paradox van de pijl laat zien. Waar gaan oneindigheidsparadoxen over? = Over oneindig grote verzameling van dingen. Als je een aantal dingen hebt, kun je die samennemen in een verzameling en sommige verzamelingen zijn oneindig groot. 1. Zoals het aantal uitdrukkingen van het Nederlands, bijv. ‘de moeder van…’. Hiermee kun je oneindig door gaan, dus dit is een verzameling die oneindig groot is. Dit is een set regels die er voor zorgt dat als je een uidrukking gemaakt hebt, je er meer kan maken. 2. Het aantal dingen dat ik nu niet doe. 3. Getallen. Filosofen en wetenschappers hebben het lang moeilijk gehad met dit soort oneindigheden. Het idee dat een verzameling of wel eindig of wel oneindig groot zijn, is fout. Er zijn graden van oneindigheid. Het ene kan nog meer oneindig zijn dan het andere. Welke problemen zag Galileo met getallen? = 1 is een getal, want het betekend hetzelfde als i . Het zijn twee notaties voor hetzelfde. Wat die getallen zelf zijn weet niemand. Je zou kunnen zeggen Platonische objecten. Dat geldt ook voor een driehoek Het zijn vormen van abstracties. Symbolen of woorden verwijzen naar getallen, maar zijn het niet. Hoe gaat Galileo’s paradox over het oneindige? = Alle kwadraten zijn getallen, maar niet alle getallen zijn kwadraten. Er zijn steeds minder kwadraten. Er zijn meer getallen dan kwadraten. Als je de verzameling kwadraten neemt en de verzameling getallen is de een duidelijk groter dan de ander. Maar er is een 1 op 1 relatie van alle kwadraten en getallen. Je kunt ze naast elkaar leggen. Je hebt voor elk getal een uniek kwadraat. Als dat zo is heb je even veel getallen als kwadraten. Dat is een tegenspraak. Zijn conclusie: begrippen als ‘meer’, ‘minder’ en ‘evenveel als’ zijn niet van toepassing op oneindig grote verzamelingen. Hier is heel lang niets mee gedaan en uiteindelijk door Cantor opgelost. Wat zijn de families van getallen? = Natuurlijke getallen, gehele getallen, rationele getallen, irrationele getallen en reële getallen. Wat zijn natuurlijke getallen? = 0,1,2,3,… Wat zijn gehele getallen? = …,-3,-2,-1,0,1,2,3,… Wat zijn rationele getallen? = Getallen die als een breuk van twee getallen worden uitgedrukt: ¼, -7/2, 2/3. Wat zijn irrationele getallen? = Getallen die de eigenschap van irrationele getallen niet hebben: √2 , ∏, … Dat was voor de Grieken een schok, omdat ze dachten dat alle lengtes in verhoudingen van Z getallen te schrijven, want dan leek het eindig. Wat zijn reële getallen? = Reële getallen kunnen worden uitgedrukt als decimale breuken met oneindig veel decimalen: 3,5000...,0,666..., 3,14159265358...,1,414213562373095..., ... Alle getallenfamilies zijn oneindig groot, maar toch zou je intuïtief denken dat de ene getallenfamilie groter is dan de andere. Waarom? = Alle natuurlijke getallen zijn gehele getallen, maar niet omgekeerd. Alle gehele getallen zijn rationele getallen, maar niet omgekeerd. Alle rationele getallen zijn reële getallen, maar niet omgekeerd. Hoe lost Cantor de oneindigheidsparadox van Galileo op? = De notie van grootte verandert volgend Cantor bij oneindigheid. De centrale notie is een 1 op 1 relatie en die verbind je tussen verzamelingen. Je kunt dat op verschillende manieren doen. Meerdere 1 op 1 relaties die het verbinden. Stel, we gaan dit toepassen op oneindig grote verzamelingen, wat krijg je dan? Voor ieder natuurlijk getal is er een even natuurlijk getal. Hetzelfde geldt voor natuurlijke getallen en kwadraten. Dit noemen we aftelbaar oneindig. Er zijn volgens Cantor verrassend veel verzamelingen waarvoor dit geldt. Een 1-op-1-relatie tussen twee verzamelingen A en B verbindt elk element van A met precies ´e´en element van B en omgekeerd. Stel dat A = {a,b,c,d} en B = {1,2,3,4}. Dan zijn er meerdere 1-op-1-relaties tussen A en B. Als A en B eindige verzamelingen zijn, dan zijn zij even groot als er een 1-op-1-relatie tussen A en B bestaat. Cantor’s idee: Dit geldt ook voor oneindig grote verzamelingen. Het aantal natuurlijke getallen en met rationele getallen is aftelbaar oneindig. Alle verzamelingen zijn oneindig groot en je kunt natuurlijke getallen gebruiken om andere getallen af te tellen. Dit kan niet met de reële getallen. Die verzameling is groter dan aftelbaar oneindig. Reële getallen hebben dus een hogere graad van oneindigheid. Het bewijs daarvoor gaat met reductio ad absurdum. 1. Stelling: De verzameling van reële getallen is aftelbaar. 2. Dan kunnen we reeksen construeren die alle reële getallen bevatten. 3. Stel dat X zo’n reeks is. 4. Dan kunnen we een reëel getal construeren dat niet tot X behoort. 5. 2 en 4 spreken elkaar tegen 6. Conclusie: 1 is onwaar: de verzameling van reële getallen is niet aftelbaar. Je moet kunnen zeggen dit is 1 en dit is 2. Bij reële getallen kun je altijd een getal construeren dat niet in de reeks zit. Dat doe je door een getal te nemen dat verschilt met de getallen in de rode blokjes in de tabel (hieronder). Bijvoorbeeld door er 1 bij op te tellen. Dat getal zit er nooit in, ongeacht welke verzameling het is. Reële getallen zijn dut niet aftelbaar, want als dat wel is, moet je een reeks kunnen reconstrueren waarin alle getallen zitten en die moet aftelbaar zijn. Cantor heeft laten zien dat je altijd een reëel getal kunt construeren die niet in de reeks zit. Dus de verzamelingen van reële getallen is groter dan van de natuurlijke getallen. Je krijgt dus een notie van oneindigheid die gradeerbaar is. Welke twee dingen kan ‘groter dan’ betekenen volgens Cantor? = 1. Sommige oneindige dingen zijn wel met elkaar aftelbaar en wat niet aftelbaar is, is groter. 2. Je kunt kijken of de ene verzameling voorkomt in andere, maar niet andersom. Deze notie van grootte werkt anders op eindige verzamelingen dan op oneindige verzamelingen. Een ander voorbeeld dat onze notie van oneindigheid paradoxaal is, is het Hilbert Hotel. Hoe gaat de paradox van Hotel Hilbert? = Het hotel is vol, maar er kunnen toch mensen bij. Er kunnen oneindig veel gasten worden ondergebracht en toch kunnen er aftelbaar oneindig veel bussen met aftelbaar oneindig veel mensen bij, omdat het hotel oneindig groot is en iedereen op kan schuiven. Wat is Cantors paradijs? = Sinds Cantor weten we dat er graden van oneindigheid zijn en dat wordt ook wel Cantors paradijs genoemd. Cantor was de enige die oneindigheden ging vergelijken. Bij Galileo lag de basis, maar Cantor ging er verder op in en zag dat gradaties van eindige relaties anders werken dan bij oneindige relaties en dus niet door elkaar gehaald kunnen worden. Bij eindige relaties gelden andere principes. 1. Als alle elementen van B ook elementen van A zijn, maar niet omgekeerd, dan is A groter dan B. 2. A en B zijn even groot als er een 1-op-1-relatie bestaat tussen de elementen van A en de elementen van B. Galileo wist al dat deze twee principes elkaar kunnen tegenspreken wanneer ze op oneindige verzamelingen worden toegepast. Cantor liet zien dat ons alledaagse begrip van “groter dan” in feite twee verschillende begrippen samenvoegt, die niet altijd met elkaar verenigbaar zijn. Daarmee is de paradox van Galileo feitelijk geen paradox meer. We zijn noties van groter dan met elkaar gaan onderscheiden. Het Hilbert Hotel is niet paradoxaal, eerder vreemd. Leg de paradox van de hardloper uit, leg uit wat er paradoxaal aan is en hoe de paradox kan worden opgelost. = Deze paradox is van Zeno van Elea 490-430. Het gaat over een hardloper die de finish wil bereiken. Daarbij moet hij oneindig veel afstanden afleggen. Eerst legt hij namelijk de helft af en dan weer de helft van die helft en dan weer de helft van die helft. Zo kun je oneindig doorgaan, dus het zijn oneindig veel afstanden. Het is onmogelijk om oneindig veel afstanden af te leggen en daarom zal hij de finish nooit halen. Dit geldt voor elke beweging en daarom is beweging een illusie volgens Zeno. Dit is een paradox, omdat het in strijd is met wat we in ons dagelijks leven ervaren. Deze paradox heeft heel lang stand gehouden. Tegenwoordig kunnen we hem makkelijk oplossen met middelbare school wiskunde. Je moet namelijk die afstand zien als 1. Wanneer je de helft loopt krijg je ½. Pak je daar weer de helft van, krijg je ¼ en daarvan de helft is 1/8. Uiteindelijk krijg je dus de som: ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + … Dit is een convergente reeks en de uitkomst is 1. We zien dus dat het gelijk is aan 1 en we hebben er tegenwoordig geen moeite mee om oneindig veel dingen op te tellen. Vroeger had men meer moeite met wiskundige abstracties. Getallen zijn geen dingen in de werkelijkheid en een hardloper wel. Dit zou je er ook tegen in kunnen brengen, maar de wiskundige oplossing wordt algemeen geaccepteerd. (Te kort) Vergelijk de paradox van de hardloper met die van Grelling. Benoem zoveel mogelijk verschillen en leg uit welke je de belangrijkste vindt en waarom. = Grelling’s paradox gaat over woorden die wel of niet op zichzelf van toepassing zijn. Is een woord op zichzelf van toepassing, dan noemen we dit: ‘autologisch’. Woorden die niet op zichzelf van toepassing zijn noemen we: ‘heterologisch’. De vraag die hij hierbij stelt is: ‘Is ‘heterologisch’ een heterologisch woord?’ Er zijn twee antwoorden mogelijk: 1. Als ‘heterologisch’ autologisch is, dan is het heterologisch, want dan is het weer niet op zichzelf van toepassing. 2. Maar als ‘heterologisch’ heterologisch is, dan is het autologisch want het is dan op zichzelf van toepassing. Het eerste verschil is dat de paradox van Grelling nog niet is opgelost en die van Zeno wel. Zeno’s stijl van argumenteren is ad absurdum: Als X dan Y, Y niet, dus X niet. Je komt bij ad absurdum uiteindelijk uit op een absurde conclusie. Bij Zeno’s paradox is dat in dit geval dat beweging niet bestaat. Bij Grelling is het anders. Bij zijn paradox kun je altijd rond blijven redeneren en is heterologisch, heterologisch als het autologisch is en autologisch al het heterologisch is. Je ziet hier ook dat Zeno zich vooral richt op beweging en Grelling op de betekenis van woorden. Paradoxen hebben altijd wel met taal te maken, maar bij Grelling komt dit ook heel duidelijk naar voren. Deze paradox is gebaseerd op woorden die op zichzelf slaan dus daarin is taal extra belangrijk. Dit laatste verschil is naar mijn mening het belangrijkste, omdat daarin de verschillen van de paradoxen goed naar voren komt. Deze twee hebben een heel ander onderwerp en een hele andere bedoeling. Die van Zeno is om te laten zien dat beweging niet bestaat en die van Grelling laat duidelijk zien dat taal dubbelzinnig is. Op het eerste gezicht lijkt het Hilbert-hotel paradoxaal. Leg uit waarom. Toch is het in zekere zin geen echte paradox. Leg uit waarom niet. = Hotel Hilbert is een hotel waarin aftelbaar oneindig veel mensen zitten en het hotel is vol. Wanneer er iemand aankomt en naar binnen wil, kan deze persoon er toch bij, omdat alle gasten een kamer opschuiven. Er kunnen zelfs aftelbaar oneindig veel mensen bij, omdat alle gasten hun kamernummer vermenigvuldigen met twee, waardoor er een aftelbaar oneindig aantal oneven kamernummers vrijkomt. Er kunnen ook aftelbaar oneindig veel bussen met aftelbaar oneindig veel mensen. De gasten vermenigvuldigen hun kamernummer opnieuw met twee. Elke bus neemt kamers met kamernummers van machten van een volgend priemgetal. Zo is er altijd een kamer vrij. Dit lijkt een paradox, omdat als het hotel vol is met oneindig veel mensen er niet nog eens oneindig veel mensen bij lijken te kunnen. Het hotel is vol, dus hoe kunnen er dan nog mensen bij? Het is tegenintuïtief en moeilijk te accepteren. Want als iedereen opschuift, waar moeten dan degene in de laatste kamers naar toe? Het punt is dat er geen laatste kamers zijn, want het hotel is oneindig. Je zou dus zeggen dat het bij oneindig veel mensen vol is, maar als het dan vol is zou het eindig zijn en dat is het niet dus kunnen er nog een keer oneindig veel mensen bij. Oneindig plus één is namelijk nog steeds oneindig. Dit is niet paradoxaal, maar alleen een beetje vreemd, want het hotel is aftelbaar oneindig. Dat betekent dat je voor elke plek in een rij getallen naar de volgende kunt komen door er één bij te tellen. Je kunt er dus altijd één bij tellen. Het gaat hier steeds om dezelfde soort oneindigheid: aftelbaar oneindig. Reële getallen zijn dus van een hogere ‘orde’ van oneindigheid dan natuurlijke getallen. Wanneer er een bus zou komen met een hogere orde van oneindigheid, zou het hotel wel in de problemen komen, dan zou het niet kunnen. Maar het Hilbert hotel krijgt te maken met aftelbare oneindigheid en in dat geval werkt het en is het niet paradox, al lijkt het zo vreemd. Leg uit wat we uit Cantor’s werk kunnen leren over alledaagse begrippen zoals “groter dan” en “even groot als”. = Volgens Cantor betekent ‘groter dan’ dus twee verschillende dingen: 1. De ene verzameling komt voor in de andere verzameling, maar niet andersom. (Alle kwantoren zijn getallen, maar niet alle getallen zijn kwantoren. De verzameling getallen is dan groter dan de verzameling kwantoren.) 2. De ene oneindigheid is groter dan de andere oneindigheid, omdat de ene oneindigheid niet aftelbaar is. Sinds Cantor weten we dat er graden van oneindigheid zijn en dat wordt ook wel Cantor’s paradijs genoemd. Cantor was de enige die oneindigheden ging vergelijken.Wanneer het om twee eindige relaties gaat, gaat het anders: Groter dan betekent dan: Als alle elementen van B ook elementen van A zijn, maar niet omgekeerd, dan is A groter dan B. Dat is dus de eerste notie van ‘groter dan’. Die klopt bij eindige relaties nog steeds. De tweede notie van ‘groter dan’ verandert als het gaat om eindige relaties. Dit is de notie van ‘even groot’: A en B zijn even groot als er een één-op-één relatie bestaat tussen de elementen van A en de elementen van B. Dus wanneer de eindige eenheden aftelbaar zijn, zijn ze even groot. Wanneer twee oneindige verzamelingen aftelbaar zijn, zegt dit niets over welke groter is. Alleen wanneer de ene niet aftelbaar is, is deze duidelijk groter. Cantor liet hier dus zien dat ons alledaagse begrip van ‘groter dan’ twee verschillende begrippen samenvoegt, die niet altijd met elkaar verenigbaar zijn. Zo heeft Cantor Galileo’s paradox opgelost en is hij op de noties van ‘groter dan’ en ‘even groot’ gekomen. (maar 7 punten)
Ingezonden op 30-03-2018 - 766x bekeken.
Nog niet genoeg stemmen voor waardering: geef je mening!
voting system
1
2
3
4
5
Maak gratis account aan
Toon volledig menu
Door deze site te gebruiken, ga je akkoord met het gebruik van cookies voor analytische doeleinden, gepersonaliseerde inhoud en advertenties.
Meer informatie.
Overhoor en verbeter je talenkennis op woordjesleren.nl. De grootste verzameling van Franse, Engelse, Duitse en anderstalige oefeningen. Naast talen zijn ook andere vakken beschikbaar, zoals biologie, geschiedenis en aardrijkskunde!